Pengantar Analisis Algoritma

9 min readNov 7, 2020

Pada suatu algoritma umumnya yang di perlukan adalah :

1.Space, yaitu alokasi yang bersifat statis

2.Struktur Program, disini menyangkut pada berapa banyak langkah yang di perlukan untuk menjalankan algoritma tersebut

3.Rekursif, pemakaian fungsi rekursif pada suatu algoritma

Ukuran Efisiensi Waktu

•Efisiensi untuk suatu algoritma tidak diukur dengan satuan waktu (detik, milidetik, dsb), karena waktu tempuh suatu algoritma sangat bergantung pada :

•banyaknya data → problem size

•spesifikasi komputer → Hardware (RAM, processor, dll)

•compiler → software

•tegangan listrik → contoh kasusnya, pemakaian notebook menggunakan daya baterai juga berpengaruh pada waktu tempuhnya karena kerja processor dapat dikatakan kurang normal.

Dll. → programmer

Efisiensi Waktu

Efisiensi waktu algoritma diukur dalam satuan n (problem size).
4 langkah untuk menentukan ukuran efisiensi waktu, antara lain :

→ Menentukan problem size (n)

→ Menentukan operasi dominan

→ Menentukan fungsi langkah à g(n)

→ Menentukan kompleksitas waktu O(f(n)) (Big Oh function)

Menentukan problem size (n)

Menentukan operasi dominan

•Operasi dominan yang dimaksudkan di sini sangat bergantung pada permasalahan, dan operasi yang dilakukan yang banyaknya bergantung pada n, dengan kata lain operasi dominan merupakan operasi yang paling banyak dilakukan, sesuai konteks permasalahan.

contoh :

pada algoritma menentukan max/min → operasi dominannya adalah operasi perbandingan “<” atau “>”
pada algoritma searching → operasi dominannya adalah operasi “=”
pada algoritma sorting → operasi dominannya adalah operasi “<” atau “>” operasi yang lain seperti “ß” tidak dominan, karena belum tentu terjadi penukaran atau perpindahan (contoh kasus : jika data yang diinputkan sudah dalam keadaan terurut)
•pada algoritma menentukan rata-rata → operasi dominannya adalah penjumlahan (+)
pada algoritma perkalian 2 matriks → operasi dominannya adalah perkalian, sedangkan operasi dominan yang keduanya (2nd dominant operation) adalah penjumlahan atau pengurangan
pada algoritma menentukan rata-rata → operasi dominannya adalah penjumlahan (+)
pada algoritma perkalian 2 matriks → operasi dominannya adalah perkalian, sedangkan operasi dominan yang keduanya (2nd dominant operation) adalah penjumlahan atau pengurangan
pada algoritma menentukan rata-rata → operasi dominannya adalah penjumlahan (+)
pada algoritma perkalian 2 matriks → operasi dominannya adalah perkalian, sedangkan operasi dominan yang keduanya (2nd dominant operation) adalah penjumlahan atau pengurangan
pada algoritma menentukan rata-rata → operasi dominannya adalah penjumlahan (+)
pada algoritma perkalian 2 matriks → operasi dominannya adalah perkalian, sedangkan operasi dominan yang keduanya (2nd dominant operation) adalah penjumlahan atau pengurangan
pada algoritma menentukan modus → operasi dominannya adalah pembandingan “<” atau “>” yang terjadi dalam proses pengurutan, lalu diikuti dengan operasi dominan yang keduanya (2nd dominant operation) adalah pembandingan “=” yang terjadi dalam proses menghitung frekuensi dari masing-masing data

Menentukan fungsi langkah → g(n)

g(n) = banyak kali operasi dominan dilakukan (dalam n)

pada contoh algoritma ini diperoleh keadaan best case, yakni ketika data terurut ascending ; dan sebaliknya akan diperoleh keadaan worst case, yakni ketika data terurut descending atau data terbesar berada di X(i).

Menentukan kompleksitas waktu O(f(n)) (Big Oh function)

Suatu algoritma dengan fungsi langkah g(n) dikatakan mempunyai kompleksitas waktu O(f(n)) jika terdapat konstanta c>0 sedemikian hingga : g(n)≤c.f(n) untuk n>n0

Algoritma MaxMin, CountingSort → g(n) = 2n-2 → Ο(n) Linear
Algoritma BubbleSort → g(n) = n2/2-n/2 → O(n2) Kwadratik
Algoritma Perkalian 2 matrix nxn → g(n) = n3 + kn → O(n3) Kubik
Algoritma MergeSort, QuickSort → g(n) =(n log n) → O(nlogn) Logaritmik

Contoh :

Tentukan g(n) dan Big Oh function dari algoritma di bawah ini ?

k = n

while k > 0 do begin

for i = 1 to n do

if (x > 0) then . . . .

k = k div 2

end

Jawaban : g(n) = n log n + 1, O(n log n)

Memahami kompleksitas waktu O(f(n))

Ketika diadakan percobaan untuk mengetahui waktu tempuh beberapa algoritma dengan berbagai jumlah data yang bervariasi, diperoleh data sebagai berikut :
Waktu tempuh algoritma menentukan max/min berbanding lurus dengan banyaknya data.

pada O(n), yang bersifat linear, diketahui semakin besar jumlah datanya, akan semakin stabil linearitasnya.

Algoritma menentukan max/min

2. Efisiensi Memory/Space

Yaitu menentukan besar memory yang diperlukan oleh suatu algoritma. Kebutuhan memory (space) suatu algoritma juga tidak bisa diukur dalam satuan memory (byte, KB), karena kebutuhan memory yang sebenarnya bergantung dari banyak data dan struktur datanya. Kebutuhan memory dari suatu algoritma diukur dalam satuan problem size n.

3. Kemudahan Implementasi

Maksud dari kemudahan implementasi di sini adalah mengukur seberapa mudah/sederhana algoritma tersebut dibuat programnya, hal ini bisa dilihat dari teknik perancangannya atau struktur data yang digunakan. Biasanya sering digunakan dalam membandingkan suatu algoritma dengan algoritma lainnya, dan bukan diukur dengan tingkatan seperti sulit, mudah, atau pun sedang. Misalnya, bila kita membandingkan algoritma sekuensial sort dengan quick sort, ternyata algoritma sekuensial sort lebih mudah , karena quicksort menggunakan teknik devide & conquer. Pigeonhole Sort lebih mudah dibandingkan dengan Radix Sort, karena Radix Sort menggunakan queue.

4. Data Movement (sorting)

Unsur ini berusaha mencari tahu banyaknya peristiwa perpindahan atau penukaran yang terjadi pada suatu algoritma sorting. Untuk mengetahui data movement ini kadang-kadang menemui kesulitan, karena mungkin tidak pasti atau mungkin diperlukan perhitungan dan penyelidikan yang lebih lanjut.

5. Stability (sorting)

Algoritma dapat bersifat stabil atau tidak stabil. Stabilitas suatu algoritma dapat dilihat dari kestabilan index data untuk data yang sama.

Index : 1 2 3 4 5 6

Setelah mengalami proses pengurutan, algoritma tersebut akan disebut stabil, jika data menjadi :

Index : 5 3 1 2 4 6

EFISIENSI ALGORITMA

Algoritma yang dapat dikatakan sebagai algoritma yang efisien, merupakan algoritma yang dimana pada saat pemrosesan algoritma tersebut tidak memakan banyak waktu dan juga ditak memakan banyak memori dalam pemrosesannya.

efisiensi algoritma umumnya di tinjau dari 2 hal, yaitu efisiensi terhadap waktu, dan efisiensi terhadap memori.

Contoh :

•S=0 (a)

•For i=1 to n

• S=s+I (b)

•Write(s) ( c )

Analisa :

Dari fragmen program diatas, maka dapat di analisa sebagai berikut :
Bagian (a) di eksekusi 1 kali
Bagian (b) merupakan suatu loop, yang didasarkan atas kenaikan harga i dari i=1 hingga i=n. Jadi statemen s=s+I akan diproses sebanyak n kali sesuai kenaikan harga i
Bagian c akan diproses 1 kali
Karena bagian (b) merupakan bagian paling yang paling sering dip roses, maka bagian (b) merupakan operasi aktif, sedang (a) dan ( c )dapat di abaikan karena bagian tersebut tidak sering diproses.
Bagian (b) dip roses sama dengan banyak data yang di masukan (n). Maka program penjumlahan bilangan riil tersebut mempunyai order sebanding dengan n atau O(n).

SPACE

Persoalan yang mendasar adalah bagaimana mengkonversi space (dalam satuan byte) ke langkah. Salah satu cara yang paling mudah adalah dengan menghilangkan satuannya (byte), selain itu juga dengan asumsi tipe data dinamis di perhitungkan pada alokasi awal. Dengan cara ini space dapat di tentukan bersama komponen lain.

Misal satuan variable dan konstanta yang bertipe :
int,real/float besarnya di anggap sama (missal 4 byte atau 8 byte)
char di anggap 1 byte
float array [2][2]= 4*4 byte=16 byte
Jadi pada prinsipnya space itu statis awalnya dan besarnya tertentu, sehingga seringkali space di nyatakan ke suatu konstanta © tertentu (di abaikan). Dengan demikian dapat di katakan bahwa pada awalnya tergantung pada hasil analisa struktur program dan bentuk rekusrifnya saja.

STRUKTUR PROGRAM (SP)

Analisa terhadap SP akanmenyangkut banyak langkah, yang di pengaruhi oleh :

Banyak operator yang di gunakan, asumsi 1 operator adalah 1 langkah
Kontrol langkah (sekuensial, struktur kondisi dan perulangan)

PROCEDURE/FUNCTION CALL

Pada bagian ini analisa lebih cenderung di pandang bagaimana suatu operasi di lakukan pada level bawah (low level), yaitu pada level pemroses melakukan operasi secara mikro di prosesor dan hal ini juga tergantung pada compiler yang di pergunakan, apakah optimasi dapat dilakukan/diberikan atau tidak.

int x=5*3, dianggap 1 langkah, karena di dalam ekspresi ada operator dan jumlahnya hanya 1 (*)
int x=5*3+4, dianggap 2 langkah karena di dalam ekspresi tersebut ada 2 operator (*,+), kalau di detailkan akan menjadi seperti int x=5*3;x=x+4.
Penggunaan built-in procedure/function adalah di anggap 1 langkah, missal ada pemanggilan seperti berikut sin(x), maka di anggap 1 langkah atau sin(x*2) diangap 2 langkah
Assigment dari suatu konstanta dianggap c langkah atau 0 langkah, missal x=5 atau x=1.

Contoh :

FUNCTION Sinus (x) : real;
BEGIN
Sinus : 0
FOR i : = 0 TO 1000
IF i mod 2 = 0 THEN d:= 1
ELSE
d:= — 1
jum:=jum + d * exp ((2 * i + 1) * ln (x)) / fakt (2 * i + 1)
sinus : = jum
END

SEKUENSIAL

Misal ada suatu statemen sebagai berikut,
Statemen s1 dengan t1 langkah
Statemen s2 dengan t2 langkah
Maka banyak langkah statemen gabungannya adalah t1+t2
Atau
S1 banyak langkah P1
S2 banyak langkah P2
S3 banyak langkah P3
. .
. .
. .
Sn banyak langkah Pn
Total banyak langkah blok-blok statement tersebut

Si bisa berupa : assigment, procedure call, percentage, kalang.

Contoh

x ←x * y operasi 1 = 1

y ←a * sin (x) operasi 1, proc 1 = 2

read (b) assign 1 = 1

write (x + y + b)assign 1, operasi 2 = 3 +

Banyak Langkah = 7

PENCABANGAN/BRANCHING

If (k) s1 else s2

k = kondisi dengan banyak langkah c

S1, S2 = blok statement dengan banyak langkah P1, P2

Missal :

kondisi mempunyai k langkah
s1 mempunyai p1 langkah
s2 mempunyai p2 langkah
maka
Langkah terburuk adalah k+max(p1,p2), dan
Langkah terbaik adalah k+min(p1,p2)
Yang digunakan dalam menentukan banyak langkah dalam suatu pencabangan adalah kasus terburuk yaitu k+max(t1,t2)

Operator dasar logika : AND, OR, NOT dihitung 1 langkah

Operator aritmatik : ^,+,-,*,/ di hitung 1 langkah

Operator aritmatik : % di hitung 2 langkah

Contoh :